Grupo lineal especial

En matemáticas, el grupo lineal especial de orden n sobre un cuerpo ${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {F} }$ es el grupo de matrices n×n con determinante igual a 1, con las operaciones de multiplicación de matrices. Este grupo se denota como:

${\displaystyle \operatorname {SL} _{n}(\mathbb {F} )\ {\mbox{o}}\ \operatorname {SL} (n,\mathbb {F} )\ {\mbox{o}}\ \operatorname {SL} (n)}$

La última forma se usa cuando el cuerpo sobre el que se define el grupo está totalmente claro y no necesita ser especificado. Usualmente ${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {F} }$ es ${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {R} }$ o ${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {C} }$. Las letras SL se toman del nombre inglés Special Linear.

El grupo especial lineal es el subgrupo normal del grupo lineal general, dado por el núcleo de la función determinante:

${\displaystyle \det \colon \operatorname {GL} _{n}(\mathbb {F} )\to \mathbb {F} ^{\times }.}$

donde:

${\displaystyle \mathbb {F} ^{\times }}$ designa el grupo multiplicativo, o conjunto de elementos diferentes de cero.

El grupo lineal especial constituye además una subvariedad algebraica del grupo lineal general (de hecho sus elementos satisfacen una ecuación polinómica, puesto que el determinante es una función polinómica de las componententes de la matriz).